Неравенства с двумя переменными. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

План урока:

1. Определение неравенства с двумя переменными.
2. Решение неравенства с двумя переменными.
3. Примеры неравенств.
4. Определение системы нелинейных неравенств с двумя переменными.
5. Решение системы нелинейных неравенств с двумя переменными.
6. Примеры систем неравенств.

Определение 1. Неравенства вида: \(f(x; y) > g(x; y)\); \(f(x; y) < g(x; y)\); \(f(x; y) \geq g(x; y)\); \(f(x; y) \leq g(x; y)\), где \(f(x; y)\) и \(g(x; y)\) выражения с двумя переменными, называются неравенствами с двумя переменными.

Примеры:

1. \(4 + x > y\);

2. \(y^2 + x^2 < 16\);

3. \(y - 4 \leq x^2 + 2x\).

Определение 2. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство.

Примеры:

1. \(y - x \leq 1\);

2. \(y \geq \frac{1}{x}\);

3. \(xy \geq 1\);

4. \(y < \frac{1}{x}\);

5. \(xy < 1\);

6. \(x^2 + y^2 \leq 4\);

7. \(x^2 + y^2 \geq 4\);

8. \(y \leq x^2\);

9. \(y \geq x^2\).

Определение 3. Системой нелинейных неравенств с двумя переменными называется система неравенств, в которой одно или несколько неравенств являются нелинейными.

Примеры:

1. \(
   \begin{cases}
   x^2 + y^2 \leq 4 \\
   y < \frac{1}{x}
   \end{cases}
   \)

2. \(
   \begin{cases}
   x^2 + y^2 \geq 4 \\
   xy < 1
   \end{cases}
   \)

3. \(
   \begin{cases}
   y \leq x^2 \\
   y \geq \frac{1}{x}
   \end{cases}
   \)

4. \(
   \begin{cases}
   y \geq x^2 \\
   xy \geq 1
   \end{cases}
   \)

Определение 4. Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Алгоритм:

Чтобы найти решение системы нелинейных неравенств с двумя переменными нужно:

1. Построить график каждого неравенства в одной системе координат;
2. Посмотреть на строгость каждого неравенства и нарисовать либо пунктиром, либо непрерывной линией;
3. Отметить решение каждого неравенства на плоскости разными цветами;
4. Найти пересечение решений (оно и будет являться решением системы).