Учиться интересно!

Неравенства с двумя переменными. Системы нелинейных неравенств с двумя переменными.

План урока:

  1. Определение неравенства с двумя переменными.
  2. Решение неравенства с двумя переменными.
  3. Примеры неравенств.
  4. Определение системы нелинейных неравенств с двумя переменными.
  5. Решение системы нелинейных неравенств с двумя переменными.
  6. Примеры систем неравенств.

Определение 1. Неравенства вида: \(f(x; y) > g(x; y)\); \(f(x; y) < g(x; y)\); \(f(x; y) \geq g(x; y)\); \(f(x; y) \leq g(x; y)\), где \(f(x; y)\) и \(g(x; y)\) выражения с двумя переменными, называются неравенствами с двумя переменными.

Примеры:

  1. \(4 + x > y\);

  2. \(y^2 + x^2 < 16\);

  3. \(y - 4 \leq x^2 + 2x\).

Определение 2. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих неравенство в верное числовое неравенство.

Примеры:

  1. \(y - x \leq 1\);

  2. \(y \geq \frac{1}{x}\);

  3. \(xy \geq 1\);

  4. \(y < \frac{1}{x}\);

  5. \(xy < 1\);

  6. \(x^2 + y^2 \leq 4\);

  7. \(x^2 + y^2 \geq 4\);

  8. \(y \leq x^2\);

  9. \(y \geq x^2\).

Определение 3. Системой нелинейных неравенств с двумя переменными называется система неравенств, в которой одно или несколько неравенств являются нелинейными.

Примеры:

  1. \( \begin{cases} x^2 + y^2 \leq 4 \\ y < \frac{1}{x} \end{cases} \)

  2. \( \begin{cases} x^2 + y^2 \geq 4 \\ xy < 1 \end{cases} \)

  3. \( \begin{cases} y \leq x^2 \\ y \geq \frac{1}{x} \end{cases} \)

  4. \( \begin{cases} y \geq x^2 \\ xy \geq 1 \end{cases} \)

Определение 4. Решением системы нелинейных неравенств с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающих каждое неравенство системы в верное числовое неравенство.

Алгоритм:

Чтобы найти решение системы нелинейных неравенств с двумя переменными нужно:

  1. Построить график каждого неравенства в одной системе координат;
  2. Посмотреть на строгость каждого неравенства и нарисовать либо пунктиром, либо непрерывной линией;
  3. Отметить решение каждого неравенства на плоскости разными цветами;
  4. Найти пересечение решений (оно и будет являться решением системы).