Системы нелинейных уравнений с двумя переменными. Решение систем нелинейных уравнений с двумя переменными.

План урока:

1. Определение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными.
2. Решение системы нелинейных уравнений с двумя переменными.
3. Способ алгебраического сложения.
4. Способ подстановки.
5. Графический способ.
6. Способ введения новой переменной.
7. Пример системы с однородным уравнением.

Вспомним, что такое нелинейное уравнение с двумя переменными.

\(x^2 + 2y - 8xy = -37\)

Пример системы уравнений:

\( \begin{cases} 3x + 2y = 2 \\ 4x + y = 6 \end{cases} \)

Определение 1. Система уравнений с двумя переменными, в которой хотя бы одно уравнение не является линейным уравнением, называется системой нелинейных уравнений с двумя переменными.

Примеры:

1. \( \begin{cases} 7x + y = 21 \\ x^2 + 2y - 8xy = -37 \end{cases} \)

2. \( \begin{cases} x^3 + y^3 = 78 \\ x - y = 9 \end{cases} \)

3. \( \begin{cases} x^2 + y^2 = 25 \\ xy = -5 \end{cases} \)

Определение 2. Пара чисел \((x_0, y_0)\), которая обращает каждое уравнение системы в верное числовое равенство одновременно, называется решением системы нелинейных уравнений с двумя переменными.

Пример:

\( \begin{cases} x + 5y^2 = 5 \\ x - 5y = -5 \end{cases} \)

Определение 3. Решить систему нелинейных уравнений с двумя переменными – значит найти множество ее решений.

Алгоритм 1. Способ алгебраического сложения.

Для решения системы способом алгебраического сложения используют следующий алгоритм.

1. Сложить почлено левые и правые части уравнений системы.
2. Решить получившееся уравнение с одной переменной.
3. Найти соответствующее значение второй переменной.
4. Записать ответ в виде множества пар числовых значений переменных.

Пример:

\( \begin{cases} x^2 + 7y = 58 \\ -x^2 + 12y = 75 \end{cases} \)

Алгоритм 2. Способ подстановки.

Для решения системы способом подстановки используют следующий алгоритм.

1. В одном из уравнений системы выразить одну переменную через другую.
2. Подставить полученное выражение вместо переменной во второе уравнение.
3. Решить полученное уравнение с одной переменной.
4. Найти соответствующее значение второй переменной.
5. Записать ответ в виде множества пар числовых значений переменных.

Пример:

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 20 \\ x + y = 6 \end{cases} \)

Алгоритм 3. Графический способ.

Для решения системы графическим способом используют следующий алгоритм.

1. Построить график каждого уравнения системы на одной и той же прямоугольной системе координат.
2. Найти координаты точек пересечения графиков уравнений.
3. Записать ответ в виде множеств пар числовых значений переменных.

Пример:

\( \begin{cases} x^2 + y^2 = 16 \\ y = 4 - x \end{cases} \)

Алгоритм 4. Способ введения новой переменной.

Для решения системы способом введения новой переменной используют следующий алгоритм.

1. Ввести новую переменную (или новые переменные) для выражения определённого соотношения переменных уравнений системы.
2. Записать уравнения системы, используя введённые переменные.
3. Решить полученную систему уравнений относительно новой переменной (новых переменных).
4. Найти значения исходных переменных, используя числовые значения введённой переменной (введённых переменных).
5. Записать ответ в виде множеств пар числовых значений переменных исходных уравнений системы.

Пример:

\( \begin{cases} x + 3y + 5xy = 17 \\ 4xy - 7(x + 3y + 5) = -76 \end{cases} \)

Пример системы с однородным уравнением:

Уравнения вида \(c_1 * x^n + c_2 * x^{n-1}y + … + c_{n-1} * xy^{n-1} + c_n * y^n = 0\) называются однородными. Одним из решений однородных уравнений будет пара чисел (0; 0).

Пример

\( \begin{cases} x^2 - 4xy + 3y^2 = 0 \\ 2x^2 - 3xy + y^2 = 10 \end{cases} \)