Нелинейные уравнения с двумя переменными и их свойства

План урока:

1. Определение уравнения с двумя переменными.
2. Степень уравнения.
3. Линейное уравнение с двумя переменными.
4. Решение нелинейного уравнения с двумя переменными.
5. Равносильные уравнения.
6. График уравнения с двумя переменными.
7. Типы заданий.

Что общего у этих трёх уравнений?

\(x(x + y) = 3\)

\(2x^2 - 5y = -2\)

\(x(x - y^2) = x + 10\)

1. Определение уравнения с двумя переменными

Определение 1. Уравнения с двумя переменными \(x\) и \(y\) называются уравнения, которые имеют вид \(f(x, y) = q(x, y)\), где \(f(x, y)\) и \(q(x, y)\) — выражения с переменными \(x\) и \(y\).

Задача

В несколько коробок разложили поровну 36 карандашей. Если бы коробок было на 2 меньше, то в каждую пришлось бы положить на 3 карандаша больше. Сколько было коробок и сколько карандашей в каждой коробке?

Вывод

Любое уравнение с двумя переменными можно привести к виду \(F(x, y) = 0\), левая часть которого — многочлен стандартного вида.

Пример

\(2x(3x + y^2) = 4x - 1\)

2. Степень уравнения

Определение 2. Степенью уравнения с двумя переменными, представленного в виде \(F(x, y) = 0\), где \(F(x, y)\) — многочлен стандартного вида, называют степенью многочлена \(F(x, y)\).

Примеры

\(6x^2 + 2xy^2 - 4x + 1 = 0\)

\(2xy^2 + 6x^2 - 4x + 1 = 0\)

3. Линейное уравнение с двумя переменными

Определение 3. Уравнения с двумя переменными, которое имеет общий вид \(ax + by = c\) (где \(a\) и \(b\) действительные числа, одновременно не равные нулю, \(с\) – действительное число, \(x\) и \(y\) – переменные) — уравнение первой степени является линейным уравнением с двумя переменными.

Примеры

\(2x + 3y = 4\)

\(−65xy + 5y = 2\)

4. Решение нелинейного уравнения с двумя переменными

Определение 4. Пара чисел \((x_0, y_0)\), которая обращает нелинейное уравнение с двумя переменными \(F(x, y) = 0\) в верное числовое равенство \(F(x_0, y_0) = 0\), называется решением нелинейного уравнения с двумя переменными.

Пример

\(x(x − y) = 4\)

Исключения:

1. \(x^2 + (y^2 − 9)2 = 0\)
2. \(7x^2 + 8y^2 = 0\)
3. \(x^4 + 12 + y^4 = 0\)

Если при решении уравнений с двумя переменными требуется найти пары целых чисел, то говорят, что «уравнения надо решить в целых числах».

5. Равносильные уравнения

Определение 5. Два уравнения, имеющие одно и то же множество решений называют равносильными уравнениями.

6. График уравнения с двумя переменными

Определение 6. Графиком уравнений с двумя переменными называется множество точек координатной плоскости, координаты которых являются решениями этого уравнения.

\(ax + by + c = 0\)

\(y = ax^2 + bx + c\)

\(y = x^3\)

\(xy = k (k ≠ 0)\)

Построение уравнений

1. \(x^2 + y^2 = 4\)
2. \((x − 3)^2 + (y − 3)^2 = 4\)
3. \((x + 3)^2 + (y + 3)^2 = 4\)

Общий вид окружности

\((x − x_0)^2 + (y − y_0)^2 = r2\),

где \((x_0; y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.

7. Типы заданий

1. Построение графиков уравнений.
2. Какие из точек принадлежат уравнению или графику уравнения.
3. Найти абсциссу или ординату точки, если дана одна из них, принадлежащая уравнению.
4. Найти степень уравнения.
5. Множество каких целых пар чисел является решением уравнения.

Построение графиков уравнений

Какие из следующих точек \(А(2; −3)\), \(В(−1; 2)\), \(С(0,4; 2)\) принадлежат уравнению \(−x^2 − 2y + 4,16 = 0\)?

Какие из точек принадлежат уравнению или графику уравнения

Какие из следующих точек \(А(2; −3)\), \(В(−1; 2)\), \(С(0,4; 2)\) принадлежат графику уравнения \(−x^2 − 2y + 4,16 = 0\)?

Найти абсциссу или ординату точки, если дана одна из них, принадлежащая уравнению

Найдите абсциссу точки с ординатой, равной 2 и принадлежащей графику уравнения \(y − |x − 2| − 2 = 0\).

Найти степень уравнения

Найдите степень уравнения \((2x - y)^2 + x^2 - 5 = 0\).

Множество каких целых пар чисел является решением уравнения

Множество каких пар целых чисел является решением уравнения \(3x^2 + y^2 = 7\)?