Тепловой двигатель и его КПД

Тепловым двигателем называют устройство, которое превращает тепловую энергию (Чаще всего из сжигаемого топлива) в механическую энергию. (Чаще всего вращение вала)

Приведем схематичное устройство теплового двигателя:

Нагревателем в двигателе чаще всего выступает сжигаемое топливо.

Рабочее тело – газ, который расширяется при нагревании и сжимается при остывании. Под холодильником понимают устройство, которое может отобрать излишки энергии у газа. Это может быть как некоторое холодное тело, так и устройство вытягивающее из двигателя нагретый газ и заменяющее его холодным газом, взятым из атмосферы.

Устройство, выполняющее работу – поршень, который толкает газ при расширении.

На схеме:

$ Q_1 $ — подводимое тепло
$ Q_2 $ — отведённое тепло
$ A $ — полезная работа, совершенная двигателем

Из схемы и закона сохранения энергии можно сделать вывод:

$$ |Q_1| = |Q_2| + A \implies A = |Q_1| - |Q_2| $$

Работа, совершенная двигателем, всегда численно меньше или равна подводимому теплу или, то же, что другими словами, невозможно превратить всё тепло топлива в механическую работу.

Коэффициент Полезного Действия (КПД) – физическая величина, показывающая какую часть подведенного тепла двигатель превратил в полезную работу.

$$ \eta = \frac{A}{Q_1} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} $$

или в процентах:

$$ \eta = \left(1 - \frac{Q_2}{Q_1}\right) \cdot 100% $$

Замечание: Нельзя превратить всё тепло в работу: $ \eta < 1 $

Цикл Карно

Цикл Карно используется для оценки максимально возможного КПД.

Цикл состоит из четырёх обратимых стадий:

2 изотермических (при постоянной температуре),
2 адиабатических (при постоянной энтропии).

Это теоретическая модель самого эффективного цикла между двумя температурами.

Графически цикл изображается на диаграмме давление–объём (P–V) как замкнутая кривая, включающая изотермы и адиабаты.

Расчёт КПД цикла Карно:

По определению:

$$ \eta_{\text{Карно}} = \frac{Q_1 - Q_2}{Q_1} \cdot 100% $$

Через температуры:

$$ \eta_{\text{Карно}} = \left(1 - \frac{T_2}{T_1}\right) \cdot 100% $$

где:

$ Q_1 $ — полученная теплота от нагревателя,
$ Q_2 $ — отданная теплота холодильнику,
$ T_1 $ — температура нагревателя (в К),
$ T_2 $ — температура холодильника (в К).

Важно: Ни один реальный двигатель не может превысить КПД цикла Карно.

Пример задач

1.В процессе, проходящем по циклу Карно, над одноатомным газом температура нагревателя $T_1$=300 К, а температура холодильника $T_2$=150К. Найти КПД данного цикла.

$ Дано: $
$ T_1 = 300 \ К $
$ T_2 = 150 \ К $

$ Найти: \eta = ? $

$ Решение: $
КПД цикла Карно:
$$ \eta = \left(1 - \frac{T_2}{T_1} \right) \cdot 100\% $$
Подставим значения:
$$ \eta = \left(1 - \frac{150}{300} \right) \cdot 100\% = 50\% $$
$ Ответ: \eta = 50\% $

2.В процессе, проходящем по циклу Карно, над одноатомным газом КПД равен 90%. Найти отношение температуры нагревателя к температуре холодильника

$ Дано: $
КПД $ \eta = 90\% = 0.9 $
$ T_1 = ? $ — температура нагревателя
$ T_2 = ? $ — температура холодильника

$ Найти: \frac{T_1}{T_2} = ? $

$ Решение: $
Цикл Карно: КПД выражается как
$$ \eta = \frac{T_1 - T_2}{T_1} $$
Подставляем КПД:
$$ 0.9 = \frac{T_1 - T_2}{T_1} $$
Преобразуем:
$$ 0.9 = 1 - \frac{T_2}{T_1} $$
$$ \frac{T_2}{T_1} = 1 - 0.9 = 0.1 $$
Тогда отношение температур:
$$ \frac{T_1}{T_2} = \frac{1}{0.1} = 10 $$

$ Ответ: \frac{T_1}{T_2} = 10 $

3.В процессе, проходящем по циклу Карно, над одноатомным газом температура нагревателя $T_1$=300К. При этом КПД цикла равен 75%. Найдите температуру холодильника.

$ Дано: $
$ \eta = 75\% $
$ T_1 = 300 \ К $

$ Найти: T_2 = ? $

$ Решение: $
КПД Карно:
$$ \eta = \left(1 - \frac{T_2}{T_1} \right) \cdot 100\% \Rightarrow \frac{T_2}{T_1} = 1 - \frac{\eta}{100} $$
$$ T_2 = T_1 \cdot \left(1 - \frac{75}{100} \right) = 300 \cdot 0.25 = 75 \ К $$
$ Ответ: T_2 = 75 \ К $