Уравнение, связывающее давление газа с его микроскопическими характеристиками:
$$ P = \frac{1}{3} m_0 n \overline{v^2} $$
где:
Концентрация молекул — количество молекул в единице объема:
$$ n = \frac{N}{V} \quad \text{[1/м}^3\text{]} $$
Константа Больцмана — связь между макроскопическими и микроскопическими параметрами:
$$ k = \frac{R}{N_A} = \frac{8.31}{6.02 \cdot 10^{23}} \approx 1.38 \cdot 10^{-23} \ Дж/К $$
Внутренняя энергия идеального газа зависит от числа степеней свободы молекулы. Ниже приведены формулы для разных типов газов:
| Тип газа | Средняя кинетическая энергия одной молекулы \( E_k \) |
Внутренняя энергия \( U \) |
|---|---|---|
| Одноатомный | \( \frac{3}{2} kT \) | \( \frac{3}{2} \nu R T \) |
| Двухатомный | \( \frac{5}{2} kT \) | \( \frac{5}{2} \nu R T \) |
| Многоатомный | \( 3 kT \) | \( 3 \nu R T \) |
где:
1. В сосуде объемом 44 литра содержится 2 моля \( \mathrm{N_2} \). Давление в сосуде равно \( 0{,}5105 \ Па \). Найти внутреннюю энергию газа.
|
\( Дано: \)
\( V = 44 \ \text{л} = 44 \cdot 10^{-3} \ \text{м}^3 \) \( p = 0{,}5105 \ \text{Па} \) Газ — \( \mathrm{N_2} \), двухатомный \( Найти: U = ? \) |
\( Решение: \)
Для двухатомного газа внутренняя энергия: \[ U = \frac{5}{2} \nu R T \] Используем уравнение состояния: \[ pV = \nu R T \Rightarrow T = \frac{pV}{\nu R} \] Подставим в формулу для \( U \): \[ U = \frac{5}{2} \nu R \cdot \frac{pV}{\nu R} = \frac{5}{2} pV \] \[ U = \frac{5}{2} \cdot 0{,}5105 \cdot 44 \cdot 10^{-3} \approx 0{,}056155 \ Дж \] \( Ответ: U \approx 0{,}056 \ Дж \) |
2. В сосуде находится газ \( \mathrm{O_2} \). Найти среднеквадратичную скорость молекулы. Температура газа \( T = 300 \ \text{K} \). В решении использовать основное уравнение МКТ.
|
\( Дано: \)
\( T = 300 \ \text{K} \) \( M(\mathrm{O_2}) = 32 \ \text{г/моль} = 0{,}032 \ кг/моль \) \( Найти: v_{\text{ср.кв.}} = ? \) |
\( Решение: \)
Формула для среднеквадратичной скорости: \[ v = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \] Подставим значения: \[ v = \sqrt{\frac{3 \cdot 8{,}314 \cdot 300}{0{,}032}} \approx \sqrt{23378{,}25} \approx 483{,}56 \ м/с \] \( Ответ: v \approx 483{,}6 \ м/с \) |
3. Средняя скорость движения тяжелой полимерной молекулы равна \( 500 \ \text{м/с} \). Масса молекулы \( m = 1{,}3865 \cdot 10^{-23} \ \text{кг} \). Найти температуру газа.
|
\( Дано: \)
\( v = 500 \ м/с \) \( m = 1{,}3865 \cdot 10^{-23} \ кг \) \( k = 1{,}38 \cdot 10^{-23} \ Дж/К \) \( Найти: T = ? \) |
\( Решение: \)
Кинетическая энергия молекулы: \[ \frac{6}{2} kT = \frac{1}{2} m v^2 \Rightarrow T = \frac{m v^2}{6k} \] Подставим значения: \[ T = \frac{1{,}3865 \cdot 10^{-23} \cdot 500^2}{6 \cdot 1{,}38 \cdot 10^{-23}} \approx \frac{3{,}46625 \cdot 10^{-18}}{8{,}28 \cdot 10^{-23}} \approx 500 \ K \] \( Ответ: T \approx 500 \ K \) |