Первый закон термодинамики формулируется как:
Изменение внутренней энергии системы равно сумме количества теплоты, подведённого к системе, и работы, совершённой над системой:
$$ Q = \Delta U + A $$
где:
| Процесс | Формула первого закона | Особенности |
|---|---|---|
| Изохорный (объём постоянен) | \( Q = \Delta U \) | Работа газа \( A = 0 \), так как объём не меняется |
| Изобарный (давление постоянное) | \( Q = \Delta U + A = \Delta U + P \Delta V \) | Работа газа равна \( P \Delta V \), так как давление постоянно |
| Изотермический (температура постоянна) | \( Q = A \) | Внутренняя энергия не меняется \( \Delta U = 0 \) |
Адиабатический процесс — процесс без теплообмена с окружающей средой:
$$ Q = 0 $$
По первому закону термодинамики тогда:
$$ \Delta U = -A $$
Уравнения адиабаты:
В зависимости давления и объёма:
$$ P V^\gamma = \text{const} $$
В зависимости температуры и объёма:
$$ T V^{\gamma - 1} = \text{const} $$
Для одноатомного газа:
$$ C_V = \frac{3}{2} R, \quad C_P = \frac{5}{2} R, \quad \gamma = \frac{5}{3} $$
Для двухатомного газа:
$$ C_V = \frac{5}{2} R, \quad C_P = \frac{7}{2} R, \quad \gamma = \frac{7}{5} $$
Для трёх- и многоатомного газа:
$$ C_V = 3R, \quad C_P = 4R, \quad \gamma = \frac{4}{3} $$
Второй закон термодинамики определяет направление протекания процессов и вводит понятие энтропии — меры неупорядоченности системы.
Постулат Клаузиуса:
Теплота не может самопроизвольно переходить от тела с более низкой температурой к телу с более высокой.
Постулат Томсона (Кельвина):
Невозможно создать машину, которая бы в цикле превращала всё количество теплоты в работу.
Энтропия ( S ) — физическая величина, характеризующая степень хаоса (неупорядоченности) системы.
В изолированной системе энтропия не убывает:
$$ \Delta S \geq 0 $$
то есть остаётся постоянной или увеличивается.
1. Над двухатомным газом в количестве 5 моль проводят изобарный процесс, при котором температура возрастает в 2 раза. В начале процесса температура была равна 300 К. Сколько теплоты нужно было подвести (отвести) к системе, чтобы этот процесс стал возможным? Найти зависимость подведенного тепла от изменения температуры.
|
\( Дано: \)
\( \nu = 5 \ моль \) \( T_0 = 300 \ К \) \( T_k = 600 \ К \) \( Найти: Q = ? \) |
\( Решение: \)
В изобарическом процессе подведённое тепло: \[ Q = \Delta U + A \] Для двухатомного газа внутренняя энергия: \[ U = \frac{5}{2} \nu R T \] Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = \frac{5}{2} \nu R (T_k - T_0) \] Работа газа при изобарическом расширении: \[ A = P \Delta V = \nu R (T_k - T_0) \] Следовательно: \[ Q = \Delta U + A = \frac{5}{2} \nu R (T_k - T_0) + \nu R (T_k - T_0) = \frac{7}{2} \nu R (T_k - T_0) \] Подставим значения: \[ Q = \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot 8{,}314 \cdot (600 - 300) = \frac{7}{2} \cdot 5 \cdot 8{,}314 \cdot 300 \] \[ Q = 7 \cdot 5 \cdot 8{,}314 \cdot 150 = 43648{,}95 \ Дж \] Ответ: \( Q \approx 4,36 \times 10^{4} \ Дж \) |
2. В изолированном сосуде находится одноатомный газ в количестве 1 моль. Над газом совершают работу, численно равную ( 3 \times 16{,}824 ) Дж. На сколько нагреется газ после совершенного процесса?
|
\( Дано: \)
\( \nu = 1 \ моль \) \( A = -3 \times 16{,}824 \ Дж \) \( Найти: \Delta T = ? \) |
\( Решение: \)
По первому закону термодинамики: \[ \Delta U = Q - A \] Так как система изолирована, \( Q = 0 \), значит: \[ \Delta U = -A \] Для одноатомного газа внутренняя энергия: \[ U = \frac{3}{2} \nu R T \] Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = \frac{3}{2} \nu R \Delta T \] Следовательно: \[ \frac{3}{2} \nu R \Delta T = -A \] Выразим изменение температуры: \[ \Delta T = \frac{-2A}{3 \nu R} \] Подставим значения: \[ A = -3 \times 16{,}824 = -50{,}472 \ Дж \] \[ \Delta T = \frac{-2 \times (-50{,}472)}{3 \times 1 \times 8{,}314} = \frac{100{,}944}{24{,}942} \approx 4{,}05 \ \text{К} \] Ответ: \(\Delta T \approx 4{,}05 \ К \) |
3.В сосуде находится азот (\( \mathrm{N_2} \)), в количестве 1 моль. Сосуд закрыт сверху поршнем массой 1 кг и площадью 0,001 м(^2), а внешнее давление равно атмосферному ( P = 10^5 ) Па. Систему начинают нагревать, передавая в систему количество теплоты ( Q = 100 ) Дж, при этом газ совершает работу по перемещению поршня на 0,1 м. Как и насколько при этом изменилась внутренняя энергия газа? (Считать, что поршень двигался без ускорения, а сила трения между стенками и поршнем равна 0)
|
\( Дано: \)
\( \nu = 1 \ \text{моль} \) \( m = 1 \ \text{кг} \) \( S = 0,001 \ \text{м}^2 \) \( P = 10^5 \ \text{Па} \) \( Q = 100 \ \text{Дж} \) \( L = 0,1 \ \text{м} \) \( Найти: \Delta U = ? \) |
\( Решение: \)
По первому закону термодинамики: \[ Q = \Delta U + A \] Работа газа равна: \[ A = F \cdot L \] Сила \( F \) — сумма силы тяжести поршня и силы внешнего давления: \[ F = mg + P S \] Подставим значения: \[ mg = 1 \ \text{кг} \times 9{,}8 \ \text{м/с}^2 = 9{,}8 \ \text{Н} \] \[ P S = 10^5 \ \text{Па} \times 0{,}001 \ \text{м}^2 = 100 \ \text{Н} \] Тогда \[ F = 9{,}8 + 100 = 109{,}8 \ \text{Н} \] Работа: \[ A = 109{,}8 \times 0{,}1 = 10{,}98 \ Дж \] Изменение внутренней энергии: \[ \Delta U = Q - A = 100 - 10{,}98 = 89{,}02 \ Дж \] Ответ: \(\Delta U = 89{,}02 \ Дж \) |