Колебания математического и пружинного маятника. Превращение энергии при механических колебаниях. Явление резонанса.

Математический маятник - это тело массой \(m\), подвешенная на нерастяжимой невесомой нити длиной \(l\) в поле каких-либо сил. При малых углах отклонения такой маятник будет совершать гармонические колебания. Если математический маятник совершает колебания в поле силы Земли тяжести Земли то период его колебаний определяется формулой: $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$ А циклическая частота колебаний будет: $$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}$$

Простейшей колебательной системой является пружинный маятник - груз массой \(m\), прикрепленный к невесомой пружине с коэффициентом жесткости \(k\) Период колебаний пружинного маятника определяется выражением: $$T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$ А циклическая частота колебаний будет: $$\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}$$

Превращение энергии при механических колебаниях

При колебаниях математического маятника изменяется высота \(h\) грузика относительно положения равновесия и изменяется его скорость \(v\). Причем при максимальных смещениях высота достигает максимального значения \(h_{max}\), а скорость становится равной нулю, в положении равновесия — наоборот: высота тела равна нулю, а скорость достигает максимального значения \(v_{max}\) Так как высота тела определяет его потенциальную энергию: \(E_p = mgh\), а скорость — кинетическую энергию \(E_k = \frac{mv^2}{2}\), то вместе с изменением высоты и скорости будут изменяться и энергии. Когда маятник находится в точке, где его смещение от положения равновесия максимально (крайняя левая или крайняя правая точка траектории его движения - точка \(А\), то кинетическая энергия маятника равна минимально возможному значению - нулю: \(E_{k\ min} = \frac{m \cdot 0^2}{2} = 0\) А потенциальная энергия максимальна: \(E_{p\ max} = m g h_{max}\) B положении равновесия кинетическая энергия имеет максимальное значение \(E_{k\ max} = \frac{mv_{max}^2}{2}\) , а потенциальная энергия минимальна \(E_{p\ min} = m g \cdot 0 = 0\). После прохождения положения равновесия происходит превращение кинетической энергии в потенциальную. При колебательном движении маятника всегда происходит периодические взаимные превращения его кинетической и потенциальной энергии.

Полная механическая энергия математического маятника в любой точки траектории будет постоянна
$$ E = E_p + E_k = m g h + \frac{mv^2}{2} = const. $$
Закон сохранения энергии позволяет оценить скорость тела при любом значении смещения тела от положения равновесия.
Так как: $$ E_{p\ max} + E_{k\ min} = E_{p\ min} + E_{k\ max} $$
$$E_{p\ max} = E_{k\ max}$$
$$mgh_{max} = \frac{mv_{max}^2}{2}$$
$$v_{max} = \sqrt{2gh_{max}}$$