Принцип Галилея: все инерциальные системы отсчета равноправны по отношению к механическим явлениям.
Инвариантные величины в классической механике:
Пример:
Пусть линейка движется вдоль оси \( O_x \) со скоростью \( v \).
Вывод: в классической механике длина является инвариантной величиной.
Первый постулат (относительности): во всех инерциальных системах отсчета все физические явления при одинаковых условиях происходят одинаково.
→ Никакими опытами внутри ИСО невозможно определить, движется ли она или покоится.
Второй постулат (постоянства скорости света): скорость света в вакууме одинакова во всех ИСО и не зависит от движения источника или приемника.
Часы, движущиеся относительно наблюдателя, идут медленнее:
$$ t = \frac{t_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
где:
Вывод: процессы в движущейся системе протекают медленнее.
Длина движущегося тела сокращается в направлении движения:
$$ l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$
где:
Масса тела зависит от его скорости:
$$ m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} $$
где:
При \( v \to c \) масса \( m \to \infty \).
Энергия, импульс и масса в релятивистской динамике; закон связи массы и энергии.
В теории относительности законы сохранения импульса и энергии уточняются. Помимо кинетической энергии вводится понятие энергии покоя, пропорциональной массе тела:
$$
E_0 = mc^2
$$
Зависимость энергии и импульса тела от скорости:
$$
E = \frac{mc^2}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
$$
$$
\vec{p} = \frac{mv}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}
$$
1) Космический корабль пролетает мимо со скоростью \( v = 0{,}9c \). По вашему измерению его длина \( l = 70 \ м \). Определить собственную длину корабля.
|
\( Дано:\) \( v = 0{,}9c \) \( l = 70 \ \text{м} \) \( Найти: \ l_0 = ? \) |
\( Решение:\) Релятивистское сокращение длины: $$ l = l_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} $$ Выразим \( l_0 \): $$ l_0 = \frac{l}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} = \frac{70}{\sqrt{1 - 0{,}9^2}} = \frac{70}{\sqrt{0{,}19}} \approx \frac{70}{0{,}4359} \approx 1{,}61 \cdot 10^2 \ \text{м} $$ \( Ответ:\ l_0 \approx 161 \ \text{м} \). |
2) Определите скорость ( v ), если по наблюдениям с Земли ход времени на корабле замедлился в ( 1{,}5 ) раза.
|
\( Дано:\) \( \dfrac{t}{t_0} = 1{,}5 \) (замедление времени) \( Найти: \ v = ? \) |
\( Решение:\) Замедление времени: \( \dfrac{t}{t_0} = \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \). Тогда \( \gamma = 1{,}5 \Rightarrow 1 - \dfrac{v^2}{c^2} = \dfrac{1}{\gamma^2} = \dfrac{4}{9} \). $$ \frac{v^2}{c^2} = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9}, \quad \frac{v}{c} = \sqrt{\frac{5}{9}} \approx 0{,}745 $$ Умножим на \(c\): $$ v \approx 0{,}745 \cdot 3 \cdot 10^8 \ \text{м/с} \approx 2{,}24 \cdot 10^8 \ \text{м/с} $$ \( Ответ:\ v \approx 2{,}24 \cdot 10^8 \ \text{м/с} \). |
3) Солнце излучает \( \Delta E = 3{,}75 \cdot 10^{26} \ Дж \) каждую секунду. Насколько уменьшается масса в секунду? На сколько лет хватит массы \( M = 1{,}99 \cdot 10^{30} \ кг \) при таком расходе?
|
\( Дано:\) \( \Delta E = 3{,}75 \cdot 10^{26} \ \text{Дж/с} \) \( c = 3 \cdot 10^8 \ \text{м/с} \) \( M = 1{,}99 \cdot 10^{30} \ \text{кг} \) \( Найти:\ \Delta m,\ \tau \) |
\( Решение:\) Потеря массы в секунду: \( \Delta m = \dfrac{\Delta E}{c^2} \). $$ \Delta m = \frac{3{,}75 \cdot 10^{26}}{(3 \cdot 10^8)^2} = \frac{3{,}75 \cdot 10^{26}}{9 \cdot 10^{16}} \approx 4{,}17 \cdot 10^{9} \ \text{кг/с} $$ Время «на сколько хватит»: \( \tau = \dfrac{M}{\Delta m} \). $$ \tau \approx \frac{1{,}99 \cdot 10^{30}}{4{,}17 \cdot 10^{9}} \approx 4{,}78 \cdot 10^{20} \ \text{с} \approx \frac{4{,}78 \cdot 10^{20}}{3{,}1536 \cdot 10^{7}} \approx 1{,}5 \cdot 10^{13} \ \text{лет} $$ \( Ответ:\ \Delta m \approx 4{,}17 \cdot 10^{9} \ \text{кг/с};\ \tau \approx 1{,}5 \cdot 10^{13} \ \text{лет}. \) |