• +7 777 150 51 51

Основы переменного тока и электромагнитных колебаний

Колебательный контур включает катушку индуктивности \( L \) и конденсатор ёмкостью \( C \). После замыкания ключа энергия периодически переходит из электрической формы (конденсатор) в магнитную (катушка):
$$ W_0 = \frac{L I_{\max}^2}{2} = \frac{C U_{\max}^2}{2}. $$

Циклическая частота и период:
$$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}, \qquad T = 2\pi\sqrt{LC}. $$

Зависимость заряда и тока от времени:
$$ Q(t)=Q_{\max}\cos(\omega_0 t), \qquad I(t)=-I_{\max}\sin(\omega_0 t). $$

Энергия магнитного и электрического полей при свободных колебаниях $$ W_0 = \frac{L I_{\max}^2}{2} = \frac{C U_{\max}^2}{2}. $$

Для любого момента времени при незатухающих колебаниях:
$$ W_0 = \frac{L I^{2}(t)}{2} + \frac{C U^{2}(t)}{2}. $$

Если контур подключён к источнику переменного напряжения
$$ U(t)=U_{\max}\cos(\omega_{\text{ист}} t), $$ то колебания в контуре происходят с частотой \( \omega_{\text{ист}} \).

Резонанс наступает, когда \( \omega_{\text{ист}} = \omega_0 = 1/\sqrt{LC} \); амплитуда тока и напряжения становится максимальной. kolebanya
Активное сопротивление в цепи переменного тока
Для цепи «источник + резистор» напряжение и ток совпадают по фазе: $$ U(t)=U_{\max}\cos(\omega t), \qquad I(t)=\frac{U_{\max}}{R}\cos(\omega t)=I_{\max}\cos(\omega t). $$ 		kolebanya

Мгновенная мощность на резисторе:
$$ P(t)=I^2(t) R = I_{\max}^2 R\cos^2(\omega t). $$

Эффективные (действующие) значения-действующие значения определяют постоянные ток и напряжение, при которых за период выделяется та же энергия, что и при переменном токе: $$ I_{\text{действ}} = \frac{I_{\max}}{\sqrt{2}}, \qquad U_{\text{действ}} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}. $$

Средняя (активная) мощность:
$$ P_{\text{ср}} = I_{\text{действ}}^2 R = \frac{U_{\max}^2}{2R}. $$

Примеры решения задач

1. Колебательный контур долго заряжают от источника с напряжением 5 \(В\). В момент времени \( t = 0 \) энергия в контуре 0.25 Дж, а максимальный ток в цепи \( I_{\max} = 0.2\pi , \text{А} \). Определить период и круговую частоту свободных колебаний.

\( Дано:\)
\( U_{\max} = 5 \ \text{В} \)
\( I_{\max} = 0.2\pi \ \text{А} \)
\( W_0 = 0.25 \ \text{Дж} \)

\( Найти: T,\; \omega_0 \) 		\( Решение: \)
Энергия в момент заряда:
$$ W_0 = \frac{C U_{\max}^2}{2} \Rightarrow C = \frac{2 W_0}{U_{\max}^2} = \frac{2 \cdot 0.25}{5^2} = 0.02 \ \text{Ф}. $$
Энергия через ток:
$$ W_0 = \frac{L I_{\max}^2}{2} = \frac{L (0.2\pi)^2}{2} \Rightarrow L = \frac{2 W_0}{(0.2\pi)^2} = \frac{0.5}{0.04\pi^2} \approx 1.27 \ \text{Гн}. $$
Период собственных колебаний:
$$ T = 2\pi\sqrt{LC} = 2\pi\sqrt{1.27 \cdot 0.02} \approx 2\pi \cdot 0.16 \approx 1.0 \ \text{с}. $$
Круговая частота:
$$ \omega_0 = \frac{2\pi}{T} \approx 6.3 \ \text{рад/с}. $$
\( Ответ: T \approx 1.0 \ \text{с}, \; \omega_0 \approx 6.3 \ \text{рад/с}. \)

2. Как изменится период тока в контуре, если к конденсатору подключить ещё три точно таких же конденсатора параллельно?

\( Дано:\)
\( C \) — начальная ёмкость;
\( 3C \) — добавляют параллельно.

\( Найти: T_{\text{нов}} / T_1 \) 		\( Решение: \)
При параллельном соединении:
$$ C_{\text{общ}} = 4C. $$
Период: \( T = 2\pi\sqrt{LC}. \)
$$ T_{\text{нов}} = 2\pi\sqrt{L C_{\text{общ}}} = 2\pi\sqrt{4LC} = 2\,T_1. $$
\( Ответ: \) период увеличится в 2 раза.

3. Сколько тепла выделится на резисторе \( R\) = 20 Ом за 1 минуту, если амплитудное напряжение источника \( U_{\max}\)=60 \(B\)?

\( Дано: \)
\( R = 20 \,Ом \)
\( U_{\max} = 60 \, \text{В} \)
\( t = 60 \, \text{с} \)

\( Найти: Q = ? \) 		\( Решение: \)
Действующее напряжение:
$$ U_{\text{дей}} = \frac{U_{\max}}{\sqrt{2}}. $$
Мощность на резисторе:
$$ P = \frac{U_{\text{дей}}^2}{R} = \frac{U_{\max}^2}{2R}. $$
Работа (теплота) за время \( t \):
$$ Q = P t = \frac{U_{\max}^2}{2R} t = \frac{60^2}{2 \cdot 20} \cdot 60 = 180 \cdot 60 = 10800 \ \text{Дж}. $$
\( Ответ: Q = 10.8 \ \text{кДж}. \)